قانون الجيب وقانون جيب التمام

استنتاج قانون جيب التمام

قانون جيب التمام أو قانون التجيب أو مبرهنة الكاشي هي مبرهنة في هندسة المثلثات^{[ملاحظة 1]} تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ينص قانون جيب التمام على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ:^[1]

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }

{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta }

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }.

قانون جيب التمام يُعمم نظرية فيثاغورس لأي مثلث بأي زوايا. بوضع {\displaystyle \gamma =90^{\circ }} نجد أنَّ {\displaystyle \cos \gamma =0} ومنها نظرية فيثاغورس {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}.

جيب التمام في الرياضيات

في الرياضيات، السهم^{[1] (ملاحظة 1)} أو جيب التمام (بالإنجليزية: Cosine)‏ هو أحد الدوال المثلثية الرئيسية، وهو النسبة بين الضلع المحاذي لزاوية والوتر في مثلث ذي زاوية قائمة، حيث يكون الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الدوال المثلثية هي دوال لزوايا هندسية، وهي دوال مهمة عندما يُراد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال كنسبة لأضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية.

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بـالزاوية ، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية. أو بشكل أوسع، كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة. ، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع زوايا المثلث 180 درجة دائما. وهناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية نوضحها للزاوية A وهي:

• جيب الزاوية A، ويُرمز له بالرمز “جا A” (بالإنجليزية: Sin A)‏، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر. (a مقسومة على h)
• جيب تمام الزاوية A، ويُرمز له بالرمز “جتا A” (بالإنجليزية: Cos A)‏، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر. (b مقسومة على h)
• ظل الزاوية A ، ويُرمز له بالرمز “ظا A” (بالإنجليزية: Tan A)‏، ويساوي (tan=sin/cos)، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها. (الظل يساوي a مقسومة على b )

قوانين المثلثات والزوايا

حساب المثلثات

حساب المثلثات (trigonometric) واحدا من فروع علم الهندسة العامة والذي بدوره فرع من فرةع الرياضيات الرئيسية ،التي تعنى بدراسة الزوايا والمثلثات وقيم المثلثية منها الجيب والجيب التمام، ويعد المصريين القدامى هم أول من عرفوا قواعد حساب المثلثات، والتي وظفوها أثناء بناء الأهرامات المصرية الثلاثة والمعابد المصرية القديمة، لكن ما تم توارثه عنهم هي المخطوطات التي دون بها، ومن خلال المخططات ظهر جليا أنهم عرفوا مساحة الدائرة ومساحة المربع، وتعود معرفتنا بعلم حساب المثلثات إلى الإغريقيين فهم من وضعوا قوانينها، ومن أهم ما وضعه الإغريقيين هي مفاهيم الزاوية القائمة والزاوية الحادة والزاوية المنفرجة.

تطبيقات علم المثلثات

من أهم التطبيقات في علم المثلثات حساب الزوايا والمسافات فيما يلي:

• أثناء إنشاء المباني والطرق. توظف في صناعة المحركات.
• تستخدم في تصنيع أجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة.
• حساب المسافات الجغرافية بين القارات والدول والمدن.
• تستخدم في علم الفلك، وأنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.

قوانين حساب المثلثات

فيما يلي نضع بين أيديكم ملخصا لجميع قوانين حساب المثلثات التي قد نتطرق ووسائل لها في حياتنا العلمية والعملية وهي على النحو التالي:

• جا (س)= المقابل/الوتر.
• جتا (س)= المجاور/الوتر.
• ظا (س)= جا (س)/جتا (س).
• ظتا (س)= 1/ظا(س).
• ظتا (س)= جتا(س)/ جا(س).
• قا (س)= 1/ جتا(س).
• قتا (س)= 1/ جا (س).
• جا^2 (س)+جتا^2 (س)= 1.
• قا^2 (س)= 1+ظا^2 (س).
• قتا^2 (س)=1+ظتا^2 (س).
• جا (- س)=-جا (س).
• جتا (- س)= جتا (س).
• ظا (- س)=-ظا (س).
• جا (90-س)= جتا (س).
• جتا (90-س)= جا (س).
• ظا (90-س)= ظتا (س).
• جا (90+س)= جتا (س).
• جتا (90+س)=-جا (س) ظا (90+س)=-ظتا (س).
• جا (180-س)= جا (س).
• جتا (180-س)=-جتا (س).
• ظا (180-س)=-ظا (س).
• جا (180+س)=-جا (س).
• جتا (180+س)=-جتا (س).
• ظا (180+س)= ظا (س).
• جا (360-س)=-جا (س).
• جتا (360-س)= جتا (س).
• ظا (360-س)=-ظا (س).
• جا (360+س)= جا (س).
• جتا (360+س)= جتا (س).
• ظا (360+س)= ظا (س).
• جا (أ+ب)= جا (أ) جتا (ب)+جتا (أ) جا (ب).
• جا (أ-ب)= جا (أ) جتا (ب)-جتا (أ) جا (ب).
• جتا (أ+ب)= جتا (أ) جتا (ب)-جا (أ) جا (ب).
• جتا (أ-ب)= جتا (أ) جتا(ب)+جا (أ) جا (ب).
• ظا (أ+ب)= (ظا (أ)+ظا(ب))/(1-(ظا(أ)ظا(ب))).
• ظا (أ-ب)= ((ظا (أ)-ظا(ب))/(1+ ظا (أ) ظا (ب)).
• جا (أ+ب) جا (أ-ب)= جا^2 (أ)-جا^2 (ب)= جتا^2 (ب)-جتا^2 (أ).
• جتا (أ+ب) جتا(أ-ب)= جتا^2 (أ)-جا^2(ب)= جتا^2 (ب)-جا^2 (أ).
• ظا (45+أ)= (1+ظا (أ))/(1- ظا (أ)).
• ظا (45-أ)= (1- ظا (أ))/(1+ظا(أ)).
• 2جا (أ) جتا (ب)= جا (أ+ب)+جا ( أ-ب).
• 2جتا (أ) جا (ب)= جا (أ+ب)-جا (أ-ب).
• 2جتا (أ) جتا (ب)= جتا (أ+ب)+جتا (أ-ب).
• 2جا (أ) جا (ب)= جتا (أ-ب)-جتا (أ+ب).

قوانين الجيب وجيب التمام والظل

• sin ، جا : جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(h/a)
• cos ، جتا: جيب تمام الزاوية A = طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
• tan ، ظا : ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).

جيب الزاوية

في الرياضيات، جَيْب زاوية (بالإنجليزية: Sine of an angle)‏ هو أحد الدوال المثلثية الرئيسية، وهو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوما على طول الوتر في مثلث ذي زاوية قائمة، حيث يكون الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. ويرمز له بالرمز (جا) أو (حا) أو (بالإنجليزية: sin)‏.

في المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = الضلع a ÷ الوتر (أي نسبة الضلع a إلى الضلع c).

في الرياضيات وفي الفيزياء وفي الهندسة، تعتبر التوابع المثلثية أو الدوال المثلثية دوالا لزاوية هندسية من أهم الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف ظواهرِ دورية مثل حساب أفلاك الكواكب في الفلك وحسابات التيار المتردد في الهندسة الكهربائية وغيرها.

يمكن تعريف هذه الدوال نسبة بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثيات على دائرة واحدية.

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية المتكررة كالموجات. ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنها نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو بشكل أوسع نسبةً بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.